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2.1 線形タンクモデルの概要

時刻 $t$ の流域の貯留量 $s(t)$ の時間的変化が、常微分方程式


\begin{displaymath}
ds/dt = I(t) - a s(t) - b s(t)
\end{displaymath} (1)

で記述されるとするモデルを線形タンクモデルと呼ぶことにします。 入力は,$I(t)$,出力は 2つあって,


  $\textstyle O_l(t) = a s(t)$   (2)
  $\textstyle O_b(t) = b s(t)$   (3)

です。$O_l(t)$ は,側方流出孔からの流出強度,$O_b(t)$ は,底の孔 からの流出強度です。$a, b$ は定数とします。

側方流出孔がタンクの底からある高さのところについていて、一定の高さ まで水が溜まらないと側方流出孔からは流出しないというような機構を考 えることがありますが、ここでは、側方流出孔が底についている場合を考 えます。

この方程式の厳密解は,


\begin{displaymath}
s(t + \Delta t) = s(t) \exp(-(a+b)\Delta t)+
\int_t^{t+\Delta t} I(u) \exp\{(a+b)(u - t)\} du
\end{displaymath} (4)

で与えられます。ただし,$\int_a^b$ は,$a$ から $b$ までの積分記号 を表すとします。 $\lambda = (a + b) \Delta t$ と置き, $t$ から $t+\Delta t$ の 間の $I(t)$ が一定値 $I_m$ をとるとすると,


\begin{displaymath}
s(t + \Delta t) = c_1 s(t) + c_2 I_m
\end{displaymath} (5)

として, $s(t + \Delta t)$ を求めることができます。ただし,


\begin{displaymath}
c_1 = exp(-\lambda), \quad c_2 = (1 - c_1) / (a + b)
\end{displaymath} (6)

と置いています。実際には,$I(t)$ は一定ではないのですが, $t$ から $t+\Delta t$ の間 の平均値を $I_m$ の値として, $I_m = (1 / \Delta t) \int_t^{t + \Delta t} I(u) du$ としま す。



Michiharu SHIIBA
平成12年10月13日